Смысл математики для гуманитариев 🙈
Математика наполняет собой мир. В средние века даже существовало убеждение, что Бог был математиком и создал мир не как попало, а именно в соответствии с математическими законами. Гуманитарии, с которыми общаемся мы, имеют отношение к созданию, изданию литературных, музыкальных и художественных произведений. Поэтому мы привыкли считать, что гуманитарий - это тот, кто работает со звуком, образом, языком. А это магия пострашнее математики. Поэтому постараемся рассказать о математике так, как рассказали бы им☺.
☝Что есть математика?
Большинство людей уверены, что математика есть набор способов счёта и методов решения уравнений. На самом деле это не так. Математика это язык. Как у всякого языка, у математике есть слова (понятия) и правила их сочетания (грамматика). Как на всяком языке, на языке математике можно говорить правду, можно сочинять сказки и можно беззастенчиво лгать. Как всякий язык, математика предназначена для описания, а не для отражения реальности. Как у всякого уважающего себя языка, у языка математики есть письменность и семиотик (семиотика – наука о знаках) определил бы эту письменность как идеографическую – понятия обозначаются символами (а не группами символов), которые никак (ни графически, ни фонетически) не соотносятся со смыслом того, что они обозначают. От остальных языков математика отличается двумя свойствами:
1. Все понятия имеют однозначное определение.
2. Понятия не могут сочетаться в одном высказывании друг с другом произвольно. Возможность подобного сочетания понятий в одном высказывании определяется (доказывается) на основе существующих в математике логических правил (что соответствует грамматическим правилам в других языках). Результатом доказанной возможности сочетания понятий может стать появление нового понятия и соответствующего письменного обозначения.
Теперь, возможно, уже не покажется таким ужасным факт, что математика оперирует абстрактными понятиями. В конце концов любой язык делает тоже самое. Слово «стол» есть такая же абстракция, как цифра «4». Мнимая еденица «i» в смысле реальности ничем не отличается от понятия «Змей Горыныч». У каждого из этих понятий имеются свои свойства, каждое применяется при описании известных ситуаций и при этом речь вовсе не обязательно идёт о чём то реальном.
☝Зачем математика нужна?
Как всякий язык, математика способна отражать реальность. Но у языка математики есть три удивительных свойства, которые отсутствуют у других языков. Во первых, это предсказательная сила. Каждый, кто решал задачу об идущих навстречу друг другу поездах, знает что это такое. Сложив, умножив, поделив (или проделав какие либо другие действия) несколько абстрактных цифр и переменных, можно узнать, когда поезда встретятся. В этом смысле висящее на каждом вокзале расписание поездов является самым потрясающим собранием пророчеств, точности которых может позавидовать любой Нострадамус.
Как ни странно, но мы не знаем, почему это так. Мы не знаем, почему математика «работает», почему вычисленные на основе абстрактных понятий результаты потом реализуются на практике. То что в случае идущих навстречу друг другу поездов кажется тривиальным и самим собой разумеющимся, перестаёт быть таковым в случае летящих навстречу друг другу пучков протонов. И тем не менее с помощью математики можно предсказать, что случится. Открытие бозона Хиггса, о котором, как я думаю, слышали даже гуманитарии, отличное тому свидетельство.
Во-вторых, это загадочная связь с реальностью. Вообще говоря, в отличие от других языков, математика почти на 90% посвящена себе самой. Большая часть понятий, входящих в словарный запас математики это математические понятия. Если посмотреть, из каких разделов математика состоит, обнаруживается, что только немногие из них имеют прикладное значение. Это всё равно, как если бы русский язык на 90% состоял бы из лингвистических терминов и занимался бы он в основном изучением и описанием самого себя. Так вот, удивительным является то, что как только люди открывают какие либо неизвестные ранее явления, в математике находятся уже готовые способы их описания, которые изначально были созданы для описания свойств чисто математических абстрактных объектов. Дифференциальное исчисление появилось почти за 200 лет до того, как оно реально понадобилось практически. Теория вероятности была создана за 250 лет до того, как в ней понадобилась нужда в квантовой механике. Топология была создана за 150 лет до того, как она была применена в теории элементарных частиц. Именно поэтому развитие математики считается таким важным делом – никому не известно, как могут пригодиться разработки математиков.
Мы так же не знаем, почему описание и свойства абстрактных, рождённых воображением объектов подходят к объектам реальным. Но мы очень активно этим пользуемся. Не зря говорят, что математика это язык науки. Чем больше математики в наших знаниях, тем глубже наше понимание реальности.
Третье уникальное свойство математики вытекает из этого. Это универсальность математики. Язык математики не зависит от того, кто им пользуется. Это доказано со всей математической строгостью. И это, в частности, означает, что инопланетяне, буде они существуют, неизбежно имеют такую же математику, как и мы (хотя, конечно, наверняка пользуются другой символикой на письме).
☝Зачем нужно учить математику?
Часто спрашивают, зачем нужно учить математику, если она в дальнейшей жизни не понадобится. На это можно было бы ответить вопросом: а кому в жизни понадобилось умение подтягиваться на турнике? Но против физкультуры никто вроде бы не возражает.
Но отвечать вопросом на вопрос не вежливо, тем более что на него существует несколько ответов.
Ответ первый. Считать нужно уметь так же, как и читать. Это было очевидно даже организаторам церковно-приходских школ с четермя классами образования.
Ответ второй. Мозг, как и мышцы, требует упражнения для своего развития. Математика является лучшим упражнением для развития мозга. При изучении математики образование нейронных связей ускоряется в большей степени, чем, например, при изучении литературы.
Ответ третий. То что математика важна, никто вроде бы не отрицает. Так же, как никто не отрицает, что важна музыка, программирование или литературное сочинительство. И кто то всем этим должен заниматься. Единственный способ узнать кто, это преподать детям музыку, литературу, математику, программирование и вообще всё, что только можно. И посмотреть, не проявит ли кто особых способностей в одной из областей. Человеческий мозг это самый важный ресурс, предоставляемый нам природой. Без него не будут иметь смысла никакие другие ресурсы. Поэтому пренебрегать этим даже хуже, чем иметь нефть (или залежи алмазов) и не пользоваться (здесь можно напомнить, что ещё 300 лет назад нефть не имела никакой ценности и приобрела её только благодаря достижениям человеческого ума).
Ответ четвётрый, с моей точки зрения самый важный. Как известно всякой маме, человека нужно учить всему, от рождения ему ничего не даётся, кроме самой способности учиться. Человека нужно учить ходить, человека нужно учить пережевывать пищу, человека нужно учить говорить, человека нужно учить одеваться, соблюдать гигиену и правильно отправлять естественные надобности. По мнению йогов человека нужно даже учить дышать, а по мнению учителей танцев и спортивных тренеров, его нужно учить правильно двигаться. Как сказано, само собой не даётся ничего. В этом свете не удивительно, что снабжённый способным к мышлению органом человек от рождения не умеет правильно мыслить. И, если его не научить, он так и не будет уметь, а будет делать это кое как. Правда, рациональное мышление это самое сложное для освоения дело, с каким только сталкивается человек. Даже те, кто в какой то степени его освоил (а таких не очень много) не мыслят рационально 24 часа в сутки, а только время от времени и даже не очень часто, в моменты особого просветления. Связано это с тем, что человек в интеллектуальном отношении весьма иррационален и преодоление этого даётся с большим трудом.
Так вот, математика именно учит методам рационального мышления. Обладая навыками рационального мышления, можно правильно анализировать жизненные обстоятельства, приходить к правильным выводам, выбирать правильные цели, находить правильные средства, создавать планы, которые потом реализуются с помощью указанных средств и достигать выбранных целей. Здесь я не стану углубляться в вопросы эмоционального отношения к рациональному мышлению, поскольку это не имеет отношения к математике. Скажу только, что оно отнюдь не всегда позитивное. Выводы, достигнутые рациональными методами, не всегда приятны, не зря правду назвают горькой.
☝Как понимать математические формулы и их отношение к реальности?
Здесь можно немного рассказать об отношении математики и реальности, на примере известной формулы Эйнштейна
E = m*c² Данная формула, как и все прочие, представляет собой математическое выражение (высказвание). В это выражение входят четыре слова: «E», «m», «c» и «2», которые соеденены тремя действиями (грамматическими конструкциями): «равенство» (=), «умножение» (*) и «возведение в степень».
Данное выражение ничего не говорит о том, какой смысл имеют использованные в нём слова и, соответственно, какой смысл имеет всё выражение в целом. Зато оно однозначно указывает на смысл использованных для соединения этих слов действий. Что такое «равенство», «умножение» и «возведение в степень» известно абсолютно точно. Прежде чем написать это высказывание, было определено (доказано), что указанные слова можно сочетать таким образом. То есть, данное высказывание верно. Но не станем углубляться в это доказательство.
Теперь, если мы определим смысл слов, что «E» это энергия, «m» это масса, а «c» это скорость света, мы увидим связь указанного математического высказывания с явлениями реального мира. Однако эта связь не столь примитивна, как может показаться. С точки зрения чистой математики равенство можно устанавливать только между величинами, относящимися к одному классу (множеству объектов). Или, проще говоря, яблоки можно сравнивать только с яблоками, но не с грушами.
Формула утверждает, что энергия и масса эквивалентны. И именно так формулу Эйнштейна часто и преподносят. Из неё даже делают вывод, что энергия указанной массой и обладает. Однако это не так. На самом деле формула не устанавливает эквивалентность массы и энергии, а просто описывает каким образом при взаимодействии масса превращается в энергию, а энергия в массу. Что происходит отнюдь не при любых взаимодействиях. Например, при гравитационном взаимодействии никакая масса в энергию не превращается. Из самой математической формулы это никак не следует. Поэтому крайне важно понимать сферу применения математических формул при описании реального мира. Хотя я и написал, что реальность «устроена» по законам математики, это не значит, что это устройство в математику уже заложено. Приходится немало потрудиться, что бы понять, под какие именно математические правила подходит то, что мы наблюдаем в реальности. И это могут быть весьма сложные и не тривиальные правила, как известно, например, всякому, кто изучает квантовую механику. Ни одна формула не описывает всего на свете, что бы Вы ни слышали о «теории всего». Ни одна формула не отменяет факта, что ничто не может находиться в 2 местах одновременно, что бы Вы ни слышали о квантовой неопределённости. (Особенно в данном случае важно понимать, что речь идёт всего лишь об описании очень сложных явлений, т.е. об известной степени абстракции).
Для иллюстрации приведем ещё один пример.
Всем известно, что сила притяжения прямо пропорциональна массе и обратно пропорциональна квадрату расстояния:
F = M1*M2/R² (для простоты я опустил гравитационную постоянную)
Известно, что сила равна произведению ускорения на массу:
F = M1*А
Из этого можно получить:
А = M2/R²
Эта формула успешно применяется для рассчётов в пределах Солнечной Системы, где ускорение действительно зависит от удалённости.
Это никому не мешает утверждать, что ускорение свободного падения на Земле постоянно и от высоты не зависит. Это утрверждение тоже совершенно верно, но тоже только в известных пределах, где расстояние между центрами тяжести тяготеющих масс много больше (понятие «много больше» никакого отношения к математике как таковой не имеет) чем минимальное расстояние между их поверхностями. Из этого выводят формулу, как меняется скорость свободно падающего тела:
V = A*T (где Т это время)
Справедливость этой формулы доказал ещё Галилей, сбрасывая шары с Пизанской башеи. И, если залезть на Пизанскую башню сегодня и сбросить с неё достаточно тяжелый шар, её справедливость можно доказать и сегодня. Однако, если мы заберёмся повыше (или возьмём не тяжелый шар, а клок ваты), мы обнаружим, что формула не работает. Спросите любого парашютиста и он Вам скажет, что после достижения известной скорости падения она остаётся постоянной. Что бы действительно посчитать скорость падения, необходимо учитывать сопротивление воздуха.
Как видите, существует разный уровень абстракции. Или, другими словами, в разных границах действуют разные математические формулы, которые описывают одно и то же. Необходимо подчеркнуть, что это не вопрос математики. Математика занимается только математическими выражениями, а не тем, как они применяются. Тем не менее границы применимости формул исключительно важная вещь. Использование формул за пределами границ применимости – весьма распространённый источник ошибок. А так же довольно распространённый метод введения в заблуждение.
☝Большое спасибо Игорю Иткину за помощь в подготовке материала.
